Rabu, 23 November 2016

Contoh soal dan jawaban Olimpiade Matematika

1.       Nilai ujian lima orang siswa yakni, kiki , ida , ika , wafa dan azizah  adalah bilangan bulat dan mempunyai rata-rata yang sama dengan mediannya . diketahui nilai tertinggi nnadalah 10 dan terendeah adalah 4 . Jika yang memperoleh nilai tertinggi adalah kiki dan terendah adalah azizah , maka susunan nilai yang mungkin ada sebanyak …
a)      3
b)      4
c)       13
d)      16

Pembahasan : C
Menurut pembahasan bahwa ada lima orang siswa yaitu kiki , ida , ika , wafa dan azizah . mereka mempunyai nilai rata-rata dan median yang sama dengan syarat tertinggi dimiliki oleh kiki dengan nilai 10 dan terendah yaitu azizah dengan nilai 4 .
Misalkan nilai kiki = a = 10
                   Nilai ida = b
                   Nilai ika = c
                    Nilai wafa = d
                    Nilai azizah = e = 4
                    Rata-rata nilai mereka =
                   Nilai median = m
 =
10+b+c+d+4 = 5                            ( a=10 dan e=4 )
    14+b+c+d = 5                             ( karena  = m, maka  = c )
    14+b+d+c = 5c
        14+b+d = 4c
             b + d = 4c – 14
kemudian mencari kemungkinan nilai c adalah  { 5,6,7,8,9}, dengan uraian sebagai berikut :
1)      Unutuk c=5 , maka nilai b+d=6 sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi .
2)      Unutuk c=6, maka nilai b+d=10 sehingga nilai b dan d yang memenuhi adalah 5 . akan tetapi niali c bukan lagi nilai tengah karena susnan nilai menjadi 4,8,9,9,10 .
3)      Unutuk c=7 , maka nilai b+d=14 sehingga (1) nilai b dan d yang memenuhi adalah 7 .
  (2) nilai b =5 atau d = 9
  (3) nilai b =6 atau d = 8
4) Unutuk c=8, maka nilai b+d=18 sehingga nilai b dan d yang memenuhi adalah 9 . akan tetapi niali c bukan lagi nilai tengah karena susnan nilai menjadi 4,8,9,9,10 .
5) Unutuk c=9 , maka nilai b+d= 22  sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi .

Dengan demikian banyaknya susunan nilai b , c , dan d yang mungkin adalah sebagai berikut
b
c
d
Banyak susunan
7
7
7
1!=1
5
7
9
3!=6
6
7
8
3!=6


Total
13

Jadi , susunan nilai yang mungkin adalah 13 .


2.       Tata dan Tuti berjalan mulai dari titik A bersamaan mengelilingi lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180m . Diasumsikian tata dan tuti berjalan dengan keceptan berturut-turut 72m/menit dan 60m/menit . Jika mereka bertemu untuk yang pertama kalinya kmbali dititik A . setelah tata berjalan (n) dan tuti berjalan (m) putaran , maka nilai m+n adalah ...
a)      6
b)      11
c)       20
d)      22

Pembahasan : B
Perhatikan gambar berikut!
                                                                                 Misalkan kecepata Tata =
                                                                                                                            Waktu Tata      =
                                                                         180 m                                       Kecepatan Tuti= 
                                                                                                                            Waktu Tuti       =
                     A                  180 m                                      Diketahui     = 72 meter/menit
                                                                                                                       = 60 meter/menit
                                                                                                                     K    = 4 x 180 = 720 menit
Sehingga :
  =  =  = 10 menit
 =  =  = 12 menit
Kemudian mencari KPK dari 10 dan 12 yaitu 60
Dengan demikian , maka
                                                                                             Tata berjalan sebanyak  = 6 kali putaran
                                                                                             Tuti berjalan sebanyak  = 5 kali putaran
Oleh karena itu , n = 6 dan m = 5
                                  n + m = 6 + 5 = 11


3.       Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus , kemudian dicatat sisi yang muncul . jika diasumsikan muculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya mata uang seimbang . maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah …
a)     
b)     
c)      
d)     

Pembahasan : B
Dik : dua dadu dan sekeping uang dilempar sekalius . kemudeian dicatat sisi yang muncul . karena diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiapa mata uang seimbang . sehingga peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah sebagai berikut

1)      Mata uang memiliki dua sisi , yakni sisi uang dan sisi gambar . sehngga peluang sisi angka pada mata uang =
2)      Dua mata dadu ang berjumlah 5 ada sebanyak 4 yakni , 1 dan 4  , 2 dan 3 , 4 dan 1 , 3 dan 2 sebanyak 2 klai sehingga peluang kedua mata dadu berjumlah 5 adalah   =   
Dikarenakan kejadian 1) dan 2) adalah saling berkaitan maka pluang didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah x   = 

Jadi , peluangnya adalah

4.       Angga dan kakaknya berulang tahun pada taggal 1 januari , pada tahun 2015 , umur angga dan kakaknya sama dengan angka-angka tahun kelahirannya masing-masing . jika orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu maka jumlah umur angga dan kakakny pada tahun 2015 yang mungkin adalah … tahun
a)      22
b)      24
c)       26
d)      30

Pembahasan : C

Angga dan kakaknya berulang tahun pada taggal 1 januari , pada tahun 2015 , umur angga dan kakaknya sama dengan angka-angka tahun kelahirannya masing-masing dan  orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu
Perhatikan tabel berikut!

Tahun
Umur
Jumlah angka-angka tahun
Keterangan
2015
0
8

2014
1
7

2013
2
6

2012
3
5

2011
4
4
Angga lahir
2010
5
3


…
…


…
…

1995
20
24

1994
21
23

1993
22
22
Saat kakaknya angga lahir
1992
23
21

1991
24
20

1990
25
19


Jadi , berdasarkan tabel diatas jumlah umur angga dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah 22 + 4 = 26

5.       Jika A = {1,2,3,,,,,50},
        S = { (a,b,c)l a  A , b c  A , b < a , dan b > c }, dan
        T = { (a,b,c)l a  A , b c  A, dan a = c }
Maka anggota dari S  T ada sebanyak …
a)      50
b)      1225
c)       1275
d)      2500

Pembahasab : B
Perhatikan tabel berikut!

S
S T
T
Ket
a
b
C

a
b
c = b
Sebanyak 50
2
1
2

2
1
2
Sebanyak 49
3
2
3

3
2
3
Sebanyak 48
4
3
4

4
3
4
Sebanyak 47
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
48
49

49
48
49
Sebanyak 2
50
49
50

50
2
50
Sebanyak 1

Sehingga jumlah seluruhnya adalah 1 + 2 + 3 + … + 49 =(50 x 24) + 25 = 1200 + 25 = 1225
Jadi , anggota dari S T adalah 1225















1.       Tentukan semua bilangan real positif M sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan real positif a,b dan c, paling sedikit satu diantara tiga bilangan berikut

a +  , b +  , c +

bernilai lebih dari atau sama dengan 1 + M.

pembahasan =

Jika a = b = c =   maka M harus memenuhi ketidaksamaan berikut

                +  ≥ 1 + M
yang equivalen dengan (   - 1 )2  (  + 2 ) ≤ 0
Oleh karena itu, satu-satunya nilai M yang memenuhi adalah M =
Untuk menunjukkan bahwa M =  memenuhi berarti cukup ditunjukkan

T = Max { a +  , b +  , c +  }

Andaikan T < , maka berdasarkan ketaksamaan AM-GM diperoleh
                 > 3T a +  , b +  , c +  
                           =  ( 2a +  +2b +  + 2c +  )
                            ( 9  . c2  .  )
                                           =
                kontradiksi.
Oleh karena itu terbukti T  . Jadi, satu-satunya nilai M yang memenuhi adalah
M =

2.       Banyak factor persekutuan dari 145152 dan 544320  yang merupakan bilangan genap positif adalah…

Pembahasan :
Untuk mengetahui banyak factor persekutuan  dari 145152 dan 544320 yang merupakan bilangan genap positif, perlu kita ketahui  terlebih dahulu tentang FPB dari keduanya, yaitu :

Dengan Algoritma Eulid :
FPB (544320 , 145152)             =>  544320           = 3 x 145152 + 1088664
ð  145152          = 1 x 1088664 + 36288
ð  1088664        = 3 x 36288 + 0
Sehingga, FPB (544320 , 145152) = 36288 = 26 + 34 + 7
No.
Rincian
Keterangan
1.
26
Artinya ada 6 bilagan genap, yaitu 21, 22, 23, 24, 25 dan 26
2.
34
Artinya ada 4 bilngan ganjil, yaitu 31, 32, 33 dan 34
3.
7
Artinya ada 1 bilangan ganjil, yaitu 71
4.
Berdasarkan sifat – sifat dalam perkalian dua bilangan adalah :
1.       Bilangan Ganjil X Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
2.       Bilangan Ganjil X Bilangan Genap = Bilangan Genap
3.       Bilangan Genap X Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
4.       Bilangan Genap X Bilangan Genap = Bilangan Genap
5.
34 dan 7
31, 32, 33, 34 dan 7 = ada 9 pasang bilangan ganjil, yaitu 31, 32, 33, 34, 7, 31 x 7, 32 x 7, 33 x 7 dan 34 x 7
6.
26, 34 dan 7
Ada 6 bilangan genap (dari poin soal nomor 1)
Ada 6 x 9 bilangan genap (dari poin soal nomor 1 dengan nomor 5)
Sehingga seluruhnya ada  6 + 6 x 9 = 6 + 54 = 60 bilangan genap

Jadi, banyak factor persekutuan dari  145152 dan 544320 adalah sebanyak 60.

3.       Diberikan sebarang polinom kuadrat P(x) dengan koefisien utama positif dan diskriminan negatif. Buktikan bahwa P(x) dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga polinom kuadrat
P(x) = P1(x) + P2(x) + P3(x)

dengan P1(x),P2(x),P3(x) memiliki koefisien utama positif dan diskriminan nol serta akar (real kembar) dari ketiga polinom tersebut berbeda.
Jawaban :
Tanpa mengurangi keumuman misalkan koefisien utama dari P(x) adalah 1. Selanjutnya misalkan P(x) = x2+ bx + c dengan D = b2 − 4c < 0. Maka diperoleh
P(x)        = x2 + bx + c
                = ( x + )2 - 2 + c
                =  ( x + )2 +  ( x + )2 + ()
                =  ( x + )2 +  (( x +  +  )2 + ( x +  +  )2 )
Oleh karena itu, pilih P1(x) = ( x + )2 , P2(x) =   ( x +  +  )2 , P3(x)  =   ( x +  +  )2 sehingga untuk setiap P(x) terbukti terdapat P1(x),P2(x),P3(x) se- hingga P(x) = P1(x) + P2(x) + P3(x).

4.       Jika f(2x+4 ) = x dan g(3-x) = x maka nilai f(g(1)) + g(f(2)) sama dengan …

Pembahasan :

Diketahui :
F(2x + 4 ) = x
Misal, 2x + 4 = P
= > x =

Sehingga , f(p) =
g ( 3-x ) = x
misal, 3-x = p
= > x = 3-p

Nilai dari : f(g(1)) + g(f(2))
= f(3-1) + g()
= f(2)+g(-1)
= () + (3+1)
= -1+4
= 3




5.       Misalkan A suatu himpunan berhingga beranggotakan bilangan asli. Tinjau himpunan- himpunan bagian dari A dengan tiga anggota. Himpunan A dikatakan seimbang apabila banyak himpunan bagian dari A dengan tiga anggota yang jumlah ketiga anggota tersebut habis dibagi 3 sama dengan banyak himpunan bagian dari A dengan tiga anggota yang jumlah ketiga anggota tersebut tidak habis dibagi 3.

a) Berikan satu contoh himpunan seimbang dengan 9 anggota.
b) Buktikan bahwa tidak ada himpunan seimbang dengan 2013 anggota.

Pembahasan  :

Misal, n menyatakan banyaknya anggota himpunan A, x menyatakan banyaknya anggota himpunan A yang ≡ 0 mod 3, y menyatakan banyaknya anggota himpunan A yang ≡ 1 mod 3, dan z menyatakan banyaknya anggota himpunan A yang ≡ 2 mod 3.
Jika A adalah himpunan seimbang maka harus dipenuhi persamaan berikut

() + () + () = xyz =  ()

atau equivalen dengan
2x(x−1)(x−2)+2y(y−1)(y−2)+2z(z−1)(z−2)+12xyz = n(n−1)(n−1) ········· (♥)
a)      Untuk mencari himpunan seimbang dengan 9 anggota, berarti equivalen dengan men- cari solusi bulat nonnegatif untuk persamaan (♥) dengan n = 9 yaitu mencari triple (x,y,z) yang memenuhi
2x(x − 1)(x − 2) + 2y(y − 1)(y − 2) + 2z(z − 1)(z − 2) + 12xyz = 9 · 8 · 7

dan salah satu solusi yang memenuhi yaitu (x,y,z) = (1,1,7).
Oleh karena itu, untuk mengkonstruksi himpunan seimbang dengan 9 anggota diper- lukan 1 bilangan ≡ 0 mod 3, 1 bilangan ≡ 1 mod 3, dan 7 bilangan ≡ 2 mod 3. Salah satu contoh himpunan seimbang dengan 9 anggota tersebut adalah himpunan {1,2,3,5,8,11,14,17,20}.

b)       Untuk n = 2013, persamaan (♥) equivalen dengan
2x(x−1)(x−2)+2y(y−1)(y−2)+2z(z−1)(z−2)+12xyz = 2013·2012·2011 ········· (♦)
mengingat x + y + z = 2013 maka persamaan (♦) setara dengan

2x(x − 1)(x − 2) + 2y(y − 1)(y − 2) + 2(2013 − (x + y))(2012 − (x + y))(2011 − (x + y))
+ 12xy(2013 − (x + y)) = 2013 · 2012 · 2011
Jika bekerja pada modulo 2011, kita peroleh

2x(x − 1)(x − 2) + 2y(y − 1)(y − 2) + 2(2 − (x + y))(1 − (x + y))(−(x + y))
+ 12xy(2 − (x + y)) ≡ 0 mod 2011

⇔ 2(x3 − 3x2 + 2x) + 2(y3 − 3y2 + 2y) − 2(x + y)3 − 3(x + y)2 + 2(x + y))
+ 12xy(2 − (x + y)) ≡ 0 mod 2011

⇔ − 18x 2 y − 18xy2 + 36xy ≡ 0 mod 2011
⇔ − 18xy(x + y − 2) ≡ 0 mod 2011
⇔ xy(x + y − 2) ≡ 0 mod 2011

Terdapat dua kasus yang mungkin,
(i) x atau y ≡ 0 mod 2011, WLOG x ≡ 0 mod 2011. Ada dua kasus
• Jika x = 0, maka persamaan (♦) menjadi

y(y − 1)(y − 2) + z(z − 1)(z − 2) = 2013 · 1006 · 2011

karena y + z = 2013, persamaan di atas setara dengan
y(y − 1)(y − 2) + (2013 − y)(2012 − y)(2011 − y) = 2013 · 1006 · 2011
⇔ y(y − 1)(y − 2) − y(−1 − y)(−2 − y) ≡ mod 671 ⇔ − 6y2 ≡ mod 671 ⇔ y2 ≡ mod 671
⇔ − 6y2 ≡ mod 671
⇔ y2 ≡ mod 671

– Jika y = 0 diperoleh     . Tidak ada solusi yang memenuhi.
– Jika y = 671 diperoleh  +    . Tidak ada solusi yang memenuhi .
– Jika y = 1342 diperoleh    .  Tidak ada solusi yang memenuhi .
– Jika y = 2013 diperoleh     . Tidak ada solusi yang memenuhi.

• Jika x = 2011, maka diperoleh y + z = 2, ada tiga kemungkinan

– y = 2 dan z = 0, berakibat     . tidak ada solusi yang memenuhi .
– y = z = 1, berakibat  + +2011   .  . tidak ada solusi yang memenuhi .
– y = 0 dan z = 2,     . tidak ada solusi yang memenuhi .

(ii) x + y − 2 ≡ 0 mod 2011 yang setara dengan x + y ≡ 2 mod 2011.
• Jika x + y = 2 maka z = 2011. Kasus ini equivalen dengan kasus ketika x = 2011, jadi tidak ada solusi yang memenuhi.
• Jika x + y = 2013 maka z = 0. Kasus ini equivalen dengan kasus ketika x = 0, jika tidak ada solusi yang memenuhi .

Berdasarkan hasil di atas dapat disimpulkan tidak ada solusi bulat nonnegatif untuk
persamaan
2x(x − 1)(x − 2) + 2y(y − 1)(y − 2) + 2z(z − 1)(z − 2) + 12xyz = 2013 · 2012 · 2011
Sehingga terbukti tidak ada himpunan seimbang dengan 2013 anggota.



      
               
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)