Ukuran Pemusatan (Mean-Modus-Median)

Ukuran Pemusatan (Mean-Modus-Median)

22 Sep

Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atas sekelompok data ( a set of data ). Nilai rata-rata umumnya terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar/kecilnya nilai.

Contoh:

3,4,2,,5,6,9,7,13,15,36,29,16,35,32,27,47

Jika ada data seperti ini maka data harus diurutkan terlebih dahulu,menjadi:

2,3,4,5,6,7,9,13,15,16,27,29,32,35,36,47

X_{1 =}  statistik minimum
Xn = statistik maksimum

Banyaknya data yang diamati sama dengan N, maka nilai N disebut ukuran kumpulan data (populasi).

Nilai rata-rata memiliki kecenderungan memusat, sehingga disebut juga ukuran kecenderungan memusat ( measures of central tendency ). Beberapa jenis rata-rata tersebut yang sering dipergunakan ialah Rata-rata Hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), Rata-rata Ukur ( geometric mean ), dan Rata-rata Harmonis ( harmonic mean ).

A.    MEAN /RATA-RATA

1.      Rata-Rata Hitung

Rata-rata (mean) adalah ukuran pemusatan lokasi yang banyak digunakan dalam statistika. Ukuran ini mudah dengan memanfaatkan semua data yang dimiliki.Namun demikian kekurangan dari ukuran pemusatan rata-rata ini sangat dipengaruhi nilai ekstrim.

Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.

Keterangan:
 = rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel

* Rata-Rata Sementara

Menghitung nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara.Rata-rata hitung yang diperoleh dari jumlah rata-rata sementara dan simpangan rata-rata dirumuskan:

Keterangan:
 = rata-rata hitung
 s= rata-rata hitung sementara
xi = nilai sampel ke-i
fi = frekuensi ke-i
n = jumlah sampel

* Rata-Rata Tertimbang.

Rata-rata tertimbang/terbobot (weighted average) adalah rata-rata yang dihitung dengan memperhitungkan timbangan/bobot untuk setiap datanya. Setiap penimbang/bobot tersebut merupakan pasangan setiap data.

Rumus rata-rata tertimbang/terbobot adalah sebagai berikut.

 

Keterangan:

 = rata-rata tertimbang

xi = nilai data ke-i

wi = bobot data ke-i

n = jumlah data

* Rata-Rata Gabungan

Misalkan ada n buah populasi terhingga dengan ukuran populasi f₁,f₂,……,fn maka akan mempunyai rata-rata populasi maka rata-rata gabungan dari semua populasi adalah:

Keterangan:
 = rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
fi = frekuensi ke-i
n = jumlah sampel

B. MEDIAN

Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

Median untuk jumlah data (n) ganjil

Median untuk jumlah data (n) genap

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

C. MODUS

Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.

Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.

Mo = modus

b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

D. HUBUNGAN RATA-RATA,MEDIAN DAN MODUS

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah sebagai berikut.

1.      Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.
2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.
3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.
4. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut.Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)

Ukuran Letak (Kuartil, Desil, dan Persentil)

Kuartil
 Kuartil merupakan bilangan pembagi dari sekumpulan data menjadi empat bagian yang sama banyak. Ada tiga kuartil yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga, yang diberi simbol K₁, K₂, dan K₃. Langkah-langkah menentukan kuatil yaitu:

•  Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak kuartil

Letak K_i = data ke 
Dengan i = 1, 2, 3

• Tentukan nilai kuartil
  a. Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu dan data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

Letak kuartil akan muncul dua kemungkinan, yaitu :

• Letak K_i berbentuk bilangan bulat, misalnya p. Akibatnya nilai kuartil merupakan data ke-p atau dinotasikan X_p.
• Letak K_i berbentuk pecahan campuran, misalnya 

Akibatnya nilai kuartil


b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi) Nilai kuartil dirumuskan dengan


Dengan i = 1, 2, 3
Dimana
b  : batas bawah kelas K_i
p  : panjang kelas K_i
F  : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas K_i
F  : frekuensi kelas K_i

 Desil
Desil merupakan bilangan pembagi dari sekumpulan data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Ada sembilan Desil yaitu Desil pertama, Desil kedua, . . ., Desil sembilan, yang diberi simbol D₁, D₂, . . ., D₃. Langkah-langkah menentukan Desil yaitu:

• Susun data menurut urutan nilainya
• Tentukan letak Desil

Letak D_i = data ke  
Dengan i = 1, 2, 3, … , 9

• Tentukan nilai Desil

a. Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu dan Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Letak Desil akan muncul dua kemungkinan, yaitu

• Letak D_i berbentuk bilangan bulat, misalnya u.Akibatnya nilai Desil merupakan data ke-u atau dinotasikan X_u.
• Letak K_i berbentuk pecahan campurah, misalnya  

Akibatnya nilai Desil


b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Nilai Desil dirumuskan dengan

Dengan i = 1, 2, 3, . . ., 9
Dimana
b : batas bawah kelas D_i
p : panjang kelas D_i
F : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas D_i
f : frekuensi kelas D_i

Persentil
Persentil merupakan bilangan pembagi dari sekumpulan data menjadi seratus bagian yang sama banyak. Ada 99 persentil yaitu persentil pertama, persentil kedua, . . ., persentil sembilan, yang diberi simbul P₁, P₂, . . ., P₉₉.
Langkah-langkah menentukan persentil, yaitu :

• Susun data menurut urutan nilainya
• Tentukan letak persentil

Letak P_i = data ke  
Dengan i = 1, 2, 3, … , 9

• Tentukan nilai Persentil

a. Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu dan Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Letak persentil akan muncul dua kemungkinan, yaitu:

• Letak P_i berbentuk bilangan bulat, misalnya u.Akibatnya nilai persentil merupakan data ke-p atau dinotasikan X_u.
• Letak  D_i  berbentuk  pecahan  campuran,  misalnya 

Akibatnya nilai persentil


b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Nilai Persentil dirumuskan dengan



Dengan i = 1, 2, 3, . . ., 99
Dimana
b : batas bawah kelas P_i
p : panjang kelas P_i
F : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas P_i
f  : frekuensi kelas P_i

Pengertian Dispersi

            Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar orang menyebutkan data statistik. Rata-rata upah karyawan perusahaan Rp.2.000.0000 per bulan, rata-rata jumlah mahasiswa baru Raharja 1000 mahasiswa per tahun ajaran baru. Setiap kali kita mendengar rata-rata, maka secara otomatis kita membayangkan sekelompok nilai di sekitar rata-rata tersebut. Ada yang sama dengan rata-rata, ada yang lebih kecil, dan ada yang lebih besar dari rata-rata tersebut. Dengan kata lain, ada variasi atau dispersi dari nilai-nilai tersebut, baik terhadap nilai lainnya maupun terhadap rata-ratanya.          Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

            Ukuran variabilitas adalah sebuah ukuran derajat penyebaran nilai-nilai variabel dari suatu ukuran pemusatan data dalam sebuah distribusi. Dua kelompok distribusi data dapat memiliki nilai ukuran pemusatan yang sama, akan tetapi derajat penyebarannya bisa jadi sangat berbeda. Misalnya kita memiliki data yang berasal dari dua kelompok individu yang berbeda. Data kelompok individu A : 24, 24, 25, 25, 25, 26, 26, diperoleh mean sebesar 25. Dan data dari kelompok individu B : 16, 19, 22, 25, 28, 30, 35, diperoleh mean sebesar 25.

            Nilai tendensi sentral dalam dua distribusi A dan B tersebut di atas adalah sama yaitu keduanya memiliki harga rata-rata = 25. Namun demikian apabila dilihat dari keragaman dan penyebaran nilai dari kedua distribussi tersebut tampak sangat berbeda. Dimana penyebaran nilai-nilai dalam distribusi A terlihat lebih homogen dibanding distribusi B. Sebaliknya penyebaran nilai dalam distribusi B lebih beragam atau heterogen dibanding penyebaran nilai dalam distribusi A. Hal ini diperlukan suatu indeks yang tidak saja dapat memberikan gambaran ringkas mengenai suatu distribusi (melalui suatu ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral), melainkan juga diperlukan suatu ukuran yang dapat memberikan gambaran berdasarkan keragaman nilai-nilai dalam suatu distribusi.

Ukuran dispersi pada dasarnya adalah pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan tepat. Ada beberapa macam ukuran variasi atau dispersi, misalnya nilai jarak (range), rata-rata simpangan (mean deviation), simpangan baku (standard deviation), koefisien variasi (coefficient of variation), ukuran kemencengan kurva (skewness), dan ukuran keruncingan kurva (kurtosis). Di antara ukuran variasi atau disperse data tersebut simpangan baku yang sering dipergunakan, khususnya untuk keperluan analisis data.

JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI

Jangkauan (Range, R)

Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Dengan kata lain range atau disebut juga rentangan atau jarak pengukuran dapat didefinisikan sebagai jarak antara nilai tertinggi dengan nilai terendah. Besar kecilnya range dapat digunakan sebagai petunjuk untuk mengetahui taraf keragaman dan variabilitas suatu distribusi. Semakin tinggi range berarti distribusinya semakin beragam, bervariasi atau heterogen. Sebaliknya semakin kecil harga range maka distribusinya semakin tidak bervariasi, tidak beragam, sejenis atau homogen.

Walaupun prosedur yang dilalui sangat sederhana, namun penggunaan range sebagai ukuran variabilitas harus dilakukan dengan hati-hati. Karena range sangat bergantung pada data yang ekstrim (yaitu data yang kemunculan dan ketidak munculannya sangat berpengaruh pada tinggi rendahnya nilai range). Oleh karena hanya didasarkan pada dua nilai yang tertinggi dan terendah inilah, maka range merupakan indeks variabilitas yang tidak dapat diandalkan, tidak stabil atau tidak mantap (reliable) sebagai pendekatan metodologi ilmiah. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Jangkauan data tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal X₁, X₂, …, X_n maka jangkauannya adalah

Jangkauan

Contoh :

Tentukan jangkauan data: 1, 4, 7, 8, 9, 11 !

Jawab:

X₆ = 11 dan X₁ = 1

Jangkauan =

Jangkauan data berkelompok

Untuk data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas. Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah. Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.

Contoh :Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut!

Tabel 4.1. Hasil Pengukuran Tinggi Badan 50 Mahasiswa STMIK Raharja

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi
140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174	2 4 10 14 12 5 3
Jumlah	50

Jawab:

Dari Tabel 4.1. terlihat bahwa:

Titik tengah kelas terendah     = 142

Titik tengah kelas tertinggi                  = 172

Tepi bawah kelas terendah     = 139,5

Tepi atas kelas tertinggi                      =  174,5

1. Jangkauan                            =  172 – 142       = 30
2. Jangkauan                            =  174,5 – 139,5 = 35

Jangkauan  Semi Interkuartil

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas  dan kuartil bawah  Dirumuskan:

Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil (deviasi kuartil) dari suatu himpunan data, disimbolkan dengan Q didefinisikan sebagai setengah dari selisih kuartil  dengan kuartil bawah . Dirumuskan:

Di mana Q₁ dan Q₂ adalah kuartil pertama dan kuartil ketiga dari kelompok data. Jangkauan interkuartil kadang-kadang digunakan juga meskipun jaangkauan semi interkuartil lebih umum dan sering digunakan sebagai ukuran untuk disperse data. Rumus-rumus di atas berlaku baik untuk data tunggal dan data yang telah dikelompokan dalam distribusi frekuensi. Perhatikan contoh berikut:

1. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut!

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

Jawab:

 dan

1. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil berikut!

Tabel 4.2. Nilai Statistik 80 Mahasiswa STMIK Raharja Semester II.

Nilai	Frekuensi
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99	2 3 5 14 24 20 12
Jumlah	80

Jawab:

Jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar.

Keterangan:

 Satu langkah            pagar dalam                        pagar luar

Contoh : Selidiki apakah terdapat data pencilan dari data di bawah ini!

              15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97

Jawab:  dan

Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus yang menyimpang.

Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)

Deviasi rata-rata atau deviasi mean disingkat MD (mean deviation) dari himpunan data didefinisikan sebagai nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya. Dengan kata lain, untuk melakukan penghitungan MD digunakan harga yang mutlak saja, yaitu dengan hanya menggunakan nilai-nilai yang bertanda positif saja sedangkan nilai-nilai yang memiliki tanda negatif tidak diperhitungkan atau diabaikan. Cara mencari deviasi rata-rata, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Deviasi rata-rata data tunggal

Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Contoh : Tentukan deviasi rata-rata dari 2, 3, 6, 8, 11!

Jawab:

Rata-rata hitung

Deviasi rata-rata untuk data berkelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:

Contoh:

Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel 4.1.!

Jawab:

Dari Tabel 4.1. didapat  Dengan nilai itu, dapat dibuat tabel deviasinya.

Tinggi Badan (cm)
140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174	142 147 152 157 162 167 172	2 4 10 14 12 5 3	15,7 10,7 5,7 0,7 4,3 9,3 14,3	31,4 42,8 57 9,8 51,6 46,5 42,9
Jumlah	–	50	–	282

            Oleh karena MD ini mengabaikan tanda-tanda plus minus maka tidaak dapat diteruskan kepada perhitungan-perhitungan matematik lebih lanjut, terutama pada rumus-rumus yang mencantumkan tanda plus minus itu. Untuk mengatasi kelemahan ini, digunakan cara perhitungan ukuran variabilitas yang lain, yaitu yang dikenal dengan simpangan baku atau standar deviasi atau deviasi standar. Namun sebelum masuk ke pembahasan standar deviasi akan diuraikan terlebih dahulu tentang varians.

Variansi (Variance)

            Seperti pada perhitungan simpangan rata-rata, variasi juga menggunakan selisih atau simpangan antara semua nilai data dengan rata-rata hitung. Bedanya pada rumus simpangan rata-rata yang digunakan adalah nilai mutlak dari selisih nilai, sedangkan pada variansi yang digunakan adalah kuadrat selisih nilai. Walaupun nilai mutlak dan kuadrat sama-sama bertujuan untuk membuat nilai negatif menjadi positif, tetapi maknanya sangat berbeda dan mempunyai pengaruh yang berbeda terhadap ukuran dispersi data. Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan  Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbolkan dengan  (baca: sigma).

Varians data tunggal

Untuk seperangkat data X₁, X₂, X₃,…, X_n (data tunggal), variansnya dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar.

Metode biasa

• Untuk sampel besar

• Untuk sampel kecil

Metode angka kasar

• Untuk sampel besar

• Untuk sampel kecil

Contoh: Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11!

Jawab:         maka diperoleh

2 3 6 8 11	-4 -3 0 2 5	16 9 0 4 25	4 9 36 64 121
30		54	234

Varians data berkelompok

Untuk data berkelompok (data yang telah dikelompokan dalam distribusi frekuensi), variansnya dapat ditemukan dengan menggunakan tiga metode, yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding.

Metode biasa

• Untuk sampel besar

• Untuk sampel kecil

Metode angka kasar

• Untuk sampel besar

• Untuk sampel kecil

Metode coding

• Untuk sampel besar

• Untuk sampel kecil

Keterangan:

 panjang interval kelas

 rata-rata hitung sementara.

Contoh : Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut!

Tabel 4.3. Hasil Pengukuran Diameter Pipa

Diameter	Frekuensi
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82	2 5 13 14 4 2
Jumlah	40

Jawab:

Dengan menggunakan metode biasa:

Diameter
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82	66 69 72 75 78 81	2 5 13 14 4 2	-7,425 -4,425 -1,425 1,575 4,575 7,575	55,131 19,581 2,031 2,481 20,931 57,381	110,262 97,905 26,403 34,734 83,724 114,762
Jumlah	–	40	–	–	467,790

Dengan metode angka kasar:

Diameter
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82	66 69 72 75 78 81	2 5 13 14 4 2	4.356 4.761 5.184 5.625 6.084 6.561	132 345 936 1.050 312 162	8.712 23.805 67.392 78.750 24.336 13.122
Jumlah	–	40	–	2.937	216.117

Dengan metode coding:

Diameter
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82	66 69 72 75 78 81	2 5 13 14 4 2	-3 -2 -1 0 1 2	9 4 1 0 1 4	-6 -10 -13 0 4 4	18 20 13 0 4 8
Jumlah	–	40		–	-21	63

            Hasil perhitungan dengan menggunakan ketiga rumus adalah sama, namun dengan menggunakan rumus ke-3, perhitungannya jauh lebih sederhana dan cepat. Perhatikan bahwa dengan menggunakan varians, disperse data tersebut jauh lebih besar jika dibandingkan dengan menggunakan simpangan rata-rata. Hal ini diakibatkan oleh variansi yang menggunakan kuadrat selisih nilai-nilai data terhadap rata-rata hitung, sehingga simpangannya membesar secara drastis. Ini berarti varians bukan merupakan ukuran dispersi yang baik untuk menggambarkan penyebaran data. Kelemahan varians disebabkan oleh bentuk kuadrat yang dipakai dalam rumus, sementara dispersi data sesungguhnya merupakan ukuran yang bentuknya linier. Oleh karena itu varians juga jarang digunakan dalam analisis data. Namun demikian, variansi masih mempunyai kelebihan karena melibatkan selisih dari semua nilai data.

Varians gabungan

Misalkan, terdapat  buah subsample sebagai berikut:

–               Sub-sampel 1, berukuran  dengan varians

–               Sub-sampel 2, berukuran  dengan varians

–               ……………., …………           ………     ……

–               Sub-sampel berukuran  dengan varians

Jika subsampel-subsampel tersebut digabungkan menjadi sebuah sampel berukuran  , maka varians gabungannya adalah:

     atau

Contoh: Hasil pengamatan terhadap 20 objek mendapatkan s = 4. Pengamatan

              terhadap 30 objek mendapatkan s = 5. Berapakah varians gabungannya?